本文最后更新于 2024-08-24，文章内容可能已经过时。

1.（20分）求极限\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\int_0^x{t\cos t}\mathrm{d}t-1+\cos x}{\sqrt{1+x\tan x}-\sqrt{1+x\sin x}}.

2.（20分）求级数\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{n^2+1}{\left(\frac{1}{2} \right)^nn!}x^n}的和函数.

3.（20分）设函数f\left(x \right)在\left(0,1\right)上二阶可导，且f\left(0\right)=f\left(1\right)=0,试证明存在\xi \in \left(0,1\right),使得f''\left(\xi\right)=\frac{2f\prime\left(\xi\right)}{1-\xi}.

4.（15分）已知x+y-z=e^z,xe^x=\tan t,y=\cos t,求\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\mid_{t=0},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\mid_{t=0},\frac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}t^2}\mid_{t=0}.

5.（20分）计算二重积分\iint\limits_D{r^2\sin \theta \sqrt{1-r^2\cos 2\theta}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta.}其中D=\left\{ 0\leqslant r\leqslant \sec \theta,0\leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{4} \right\}.

6.（20分）证明\underset{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}{\lim}x^y不存在，其中x>0,y>0.

7.（20分）求u=ax^2+by^2+cz^2\left(a,b,c>0\right)在条件x+y+z=1下的最小值.

8.（15分）判断反常积分\int_0^{+\infty}{\small{\frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^p}}}\mathrm{d}x的敛散性.